Kort beskrivelse af aktiviteten: Hvordan kan man analysere melodien af et digitalt musiksignal?

Karakter af besøgets indhold: Foredrag. Eventuelt eksperimenter, hvis de studerende har kendskab til Maple/Matlab.

Faglig relevans: Matematik, fysik og musik.

Nøgleord: Sinusbølger, overtoner, Fouriertransformationen, tids-frekvens analyse og spektrogrammer.

Forventet niveau: A-niveau.

Forberedelse: Som udgangspunkt intet. Andet kan arrangeres med elevernes lærer, hvis det giver mening i forbindelse med et større forløb.

Udbytte: Et konkret eksempel på, hvordan matematik anvendes i elevernes hverdag. Vi ser på teknikker, der ligger til grund for moderne lydbehandling.

Maks. antal personer: Ikke noget maks. antal.

Tidspunkter for besøget: Aftales med kontaktperson.

Besøgets varighed: Aftales med kontaktperson.

Mødested: Aftales med kontaktperson.

Kontakt: gymnasieportalen@adm.aau.dk 

Abstract:
I tids-frekvens analyse studeres signalers udbredelse i tid og frekvens samtidig ved hjælp af såkaldte tids-frekvens repræsentationer. I stedet for at betragte et signal og dets Fourier transformation separat, så kombineres informationerne herfra i en 2-dimentional repræsentation af signalet.
 
Lad os som eksempel betragte et stykke indspillet musik f (t), hvor t er tiden og f (t) er et elektrisk musiksignal optaget gennem en mikrofon. Det elektriske signal f (t) er opfanget via en membran i mikrofonen og angiver ændringerne i lufttrykket som funktion af tiden. Plotter man f (t) ser man udsvinget af membranen:

En sådan repræsentation af signalet er ikke, hvad vi som udgangspunkt forbinder med musik. Vi ønsker i stedet at konstruere en repræsentation, der svarer til den notation, som benyttes i et nodeark. Signalet ovenfor svarer til det stykke klavermusik, der er angivet i noderne nedenfor:

I et nodeark er musikken repræsenteret med tiden ud af 1.-aksen og tonehøjden (også kaldet pitch’en) ud af 2. aksen. Tonehøjde har en meget tæt forbindelse med frekvens, da hver tone på klaveret svarer til en grundfrekvens samt overtoner. Vi kan derfor tænke på nodearket som en 2-dimensional tids-frekvens repræsentation V (t,w) af signalet, der både afhænger af tiden t og frekvenserne w.
 
Vi vil se på, hvordan man matematisk kan lave en repræsentation af signalet, der på samme måde som nodearket angiver en funktioner V (t,w), der beskriver frekvenserne som funktion af tiden. Plottes V (t,w) for musikken ovenfor, så får man et såkaldt spektrogram, hvor farven indikere, hvor kraftigt den frekvensen forekommer til den angivne tid: